Bapa Eusoffe, Sir Husein Hasanally Abdoolcader, juga merupakan seorang peguam, pemimpin masyarakat dan ahli politik yang terkemuka. Husein merupakan ahli Majlis Perundangan dalam kawasan Negeri-Negeri Selat dan juga ahli Majlis Penasihat kepada Gabenor Malayan Union. Husein juga telah mencipta nama dalam Negeri-negeri Selat sebagai orang India Malaya yang pertama dinobatkan darjah kesatria oleh Raja George VI pada tahun 1948. [4] Eusoffe telah berkahwin dengan seorang wanita bernama Haseenah Abdullah yang berusia 10 tahun lagi tua daripada beliau.